CAPM模型完整解析：投資報酬率、風險與市場的數學關係｜現代投資組合理論（七）

台積電β值的疑問：為什麼不直接看本益比？

2024年9月某個週五下午，台北101大樓某知名券商研究部的會議室裡，資深半導體分析師李經理正在向剛加入團隊的新人張分析師解釋台積電的目標價計算方法。

「張分析師，你看這個模型，」李經理指著螢幕上的Excel表格說道，「台積電目前的β值是1.2，十年期公債殖利率2.5%，我們估算的市場風險溢酬是6%，所以台積電的合理報酬率應該是2.5% + 1.2×6% = 9.7%。用這個折現率計算未來現金流，得出目標價580元。」

張分析師皺著眉頭：「李學長，為什麼不直接看本益比？這個β值1.2到底是什麼意思？」

李經理笑了笑：「這就是現代投資理論和傳統分析的差別。β值測量的是台積電相對於整個市場的風險程度…」

這個場景每天在全世界的投資機構中上演。背後涉及一個根本問題：個股的合理報酬率到底該怎麼計算？

在前六篇文章中，我們已經建立了完整的投資組合理論基礎：從現代投資組合理論的誕生到個人投資組合配置。我們學會了如何為自己找到效率前緣上的最適投資組合。

但還有一個更深層的問題：當所有投資人都在追求最適投資組合時，市場會如何為每一檔股票定價？

今天，我們要學習諾貝爾經濟學獎理論資本資產定價模型(CAPM)，它將告訴我們個股報酬率與市場風險之間的精確數學關係。

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從效率前緣到資本市場線（CML）：市場定價怎麼形成

還記得第五篇中我們學到的效率前緣嗎？William Sharpe在1964年問了一個更宏觀的問題：「如果所有投資人都在追求效率前緣，那麼市場均衡時會發生什麼？」

無風險資產改變了遊戲規則

當我們把無風險資產加入投資選項時，魔法發生了：效率前緣從曲線變成了直線。

在台灣，無風險資產通常是十年期政府公債。它的特性是：

• 到期收益確定：持有到期必然獲得承諾的殖利率
• 期間價格會隨利率變動：但持有到期可忽略市價波動

關鍵公式盒：現代投資組合理論三大公式

資本市場線(CML)：
\$ E(R_p) = R_f + \frac{E(R_m) – R_f}{\sigma_m} \cdot \sigma_p \$

證券市場線(SML/CAPM)：
\$ E(R_i) = R_f + \beta_i \times [E(R_m) – R_f] \$

β係數定義：
\$ \beta_i = \frac{Cov(R_i, R_m)}{Var(R_m)} \$

這條直線就是資本市場線(Capital Market Line, CML)，它連接了無風險資產和切線組合(Tangency Portfolio)。

市場組合的神奇特性

Sharpe發現：在市場均衡狀態下，所有理性投資人都會持有相同比例的風險資產，這個組合就是市場組合(Market Portfolio)。

0050可作為市場組合的常用近似，但對中小型股曝險有限。理論上，市場組合包含所有風險資產並按市值加權。

兩種風險的根本區別

CAPM的核心洞察來自於對風險的重新分類：

系統性風險(Systematic Risk)

• 影響整個市場的風險（經濟衰退、利率變化、戰爭、疫情）
• 無法透過分散投資消除
• 市場會提供補償

非系統性風險(Unsystematic Risk)

• 影響個別公司的風險（管理層醜聞、產品缺陷、競爭對手策略）
• 可以透過分散投資消除
• 市場不提供補償

CAPM的革命性觀點：在充分分散且無摩擦條件下，市場只補償系統性風險！

本節30秒重點：

• 無風險資產將效率前緣從曲線變成直線（CML）
• 市場只補償系統性風險；β是其度量工具
• 所有投資人理論上會持有相同的市場組合比例

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SML：用β定價——CAPM的核心公式

現在我們來到CAPM的核心：α值與個股定價的數學關係。

CAPM公式的經濟學直觀

資本資產定價模型(CAPM)：
\$ E(R_i) = R_f + \beta_i \times [E(R_m) – R_f] \$

公式的經濟學邏輯：

預期報酬 = 無風險報酬 + 風險補償
風險補償 = 系統性風險暴露 × 單位風險補償

其中市場風險溢酬：本篇以MRP=6%作為示意計算；實務上建議使用區間5.5-7%並定期校正（歷史+前瞻）。

β係數：系統性風險的精確測量

β係數是CAPM最重要的創新，它精確量化了個股相對於市場的風險程度。

β值的直觀理解：

• β = 1：與市場同步波動（如0050 ETF）
• β > 1：比市場更敏感（成長股、景氣循環股）
• β < 1：比市場更穩定（防禦股、公用事業）

台股實例：主要股票的β值解析

台股β值實例表：

股票/ETF	β值區間	風險特性	合理報酬率（基於Rf=2.5%、MRP=6%的範例計算；非預測/非建議）
台積電(2330)	1.1-1.3	高系統風險	9.1-10.3%
聯發科(2454)	1.3-1.5	極高系統風險	10.3-11.5%
中華電信(2412)	0.5-0.7	低系統風險	5.5-6.7%
元大台灣50(0050)	0.95-1.05	市場風險	8.2-8.8%

市場風險溢酬的估算

台股市場風險溢酬參考區間：

• 歷史統計：約5.5-7%
• 本文採用：6%作為示例計算
• 實務建議：根據市場環境動態調整

本節30秒重點：

• CAPM公式：E(R) = Rf + β×(Rm-Rf)
• β值衡量相對市場的敏感度；>1更敏感，<1更穩定
• 所有估算皆有區間與不確定性；用區間思維比單點估計更安全

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投資決策中的CAPM應用

個股估值：用CAPM精確計算折現率

CAPM解決了第二篇股息折現模型中的關鍵問題：折現率該如何設定？

台積電估值實例（示意計算）：

CAPM折現率計算：

CAPM報酬率 = 2.5% + 1.2 × 6% = 9.7%

應用到股息折現模型：

台積電理論價值 = Σ[12/(1.097)^t] + 600/(1.097)^5 = 426.8元

這避免了傳統「科技股用10%折現」的主觀偏誤。

α值分析：發現被錯誤定價的股票 {#alpha-analysis}

Jensen’s Alpha定義：
\$ \alpha_i = R_i – [R_f + \beta_i \times (R_m – R_f)] \$

α值的投資意義：

• α > 0：表現超越CAPM預測，可能被低估
• α < 0：表現低於CAPM預測，可能被高估
• α ≈ 0：定價合理，符合市場效率假設

投資組合績效評估：三大科學指標

指標	公式	適用情境	優勢
夏普比率	(Rp-Rf)/σp	整體投資組合	考慮總風險，直觀易懂
崔納比率	(Rp-Rf)/βp	分散投資組合	聚焦系統風險，更精確
詹森α	Rp-[Rf+βp×(Rm-Rf)]	主動管理評估	絕對超額報酬，易比較

資產配置的β值管理

投資組合β值計算：
\$ 組合β = \sum(個別權重 \times 個別β值) \$

β值投資策略：

• 牛市策略：提高組合β值至1.2以上
• 熊市策略：降低組合β值至0.8以下
• 中性策略：維持組合β值接近1.0

本節30秒重點：

• CAPM改進折現率計算，從主觀經驗轉向客觀量化
• α值識別超額報酬；正α值得關注，負α需要警惕
• 三大績效指標各有適用場景，組合使用更全面

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CAPM的限制與挑戰

台股市場的實證檢驗結果

CAPM在台股的解釋力：

• β值與股票報酬的相關係數：約0.3-0.5（中等相關）
• CAPM能解釋股票報酬變異：約25-40%
• 對比美股市場：台股CAPM解釋力稍低

台股市場的異常現象

1. 小型股效應(Size Effect)

• 小型股平均報酬率高於CAPM預測
• 可能原因：流動性風險、資訊不對稱

2. 價值股效應(Value Effect)

• 低本益比股票表現較佳
• 挑戰CAPM的單一因子假設

3. 動能效應(Momentum Effect)

• 短期強勢股持續強勢
• 違反市場效率假說

CAPM假設與現實的落差

CAPM假設	現實情況	影響程度
無風險借貸	借貸利差1-2%	中等影響
無交易成本	手續費0.28%+稅負	輕微影響
資訊完全對稱	內線交易、分析師報告	重大影響

什麼時候CAPM會失效？

1. 市場極度恐慌時

• 極端市況下多數風險資產之間的平均相關性明顯上升
• β值急劇變化，CAPM預測力下降

2. 個股重大事件

• 併購、重大訴訟等事件驅動
• 公司特有風險主導

3. 估計視窗敏感性

• β對樣本長度/頻率極敏感；建議以120/252日滾動β交叉驗證
• 同時回報95%信賴區間；若區間跨越1，解讀為「與市場同步的統計不確定」

CAPM的修正與演進

Fama-French三因子模型：
\$ E(R_i) – R_f = \alpha_i + \beta_i(R_m – R_f) + s_i \times SMB + h_i \times HML \$

為下一篇因子投資提供理論基礎。

本節30秒重點：

• CAPM解釋力有限（25-40%），存在小型股、價值股等異常現象
• 極端市況、個股事件、估計視窗選擇都會影響CAPM有效性
• 多因子模型是CAPM的自然演進，為因子投資提供理論基礎

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CAPM與投資組合理論的整合

三條線的統一框架

1. 效率前緣(Efficient Frontier)

• 個人決策層面：給定風險下的最高報酬組合

2. 資本市場線(Capital Market Line, CML)

• 市場均衡層面：有效投資組合的風險報酬關係

3. 證券市場線(Security Market Line, SML) {#sml-definition}

• 個股定價層面：以β值為基礎的CAPM關係

被動投資的理論支撐

指數投資的CAPM邏輯：

• 獲得市場β=1的系統風險暴露
• 消除個股特有風險（α風險）
• 理論α值應為0（扣除費用後略為負值）

主動投資的CAPM挑戰

α值獲取的結構性困難：

市場總α值 = 0（數學必然）
投資人實際收益 = 總α - 管理費 - 交易成本 - 稅負

什麼情況下主動投資可能有效？

• 市場效率較低的領域（小型股、特殊情境）
• 具備特殊優勢（獨特資訊、專業知識）

本節30秒重點：

• 三條線統一框架：效率前緣→CML→SML，從個人配置到市場定價
• 指數投資獲得市場β暴露，理論上α=0
• 主動投資面對零和遊戲與成本拖累的雙重挑戰

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實戰工具：CAPM計算與應用

β係數計算標準流程 {#beta-calculation}

數據準備SOP：

1. 收集個股與市場指數（建議使用0050）的日收盤價
2. 建議時間窗口：最近2-3年（500-750個交易日）
3. 報酬率計算：=(今日價格/昨日價格)-1

Excel SLOPE函數計算：

=SLOPE(個股報酬率範圍, 市場報酬率範圍)

β值品質檢驗標準：

• R²值：>0.3為良好，>0.5為優秀
• t統計量：>1.96為顯著（95%信心水準）
• 穩定性：不同時期β值差異<0.3
• 信賴區間：同時回報95%信賴區間；若跨越1，需謹慎解讀

CAPM預期報酬率計算器

建議參數板（讀者可截圖）

標準設定：

• Rf = 2.5%（十年期公債殖利率）
• MRP = 6%（區間5.5-7%）
• β窗口 = 252日（一年交易日）
• 回報頻率 = 日報酬率

Excel計算模板：

CAPM預期報酬率 = 無風險利率 + β值 × 市場風險溢酬

風險情境與投資策略

最佳情境：市場趨勢明確且風險溢酬上升

• 拉高組合β至1.1-1.3
• 聚焦成長股、景氣循環股
• 觸發條件：VIX與台指選擇權隱含波動率共同觸發<25

最壞情境：溢酬收縮+利率走升+流動性風險升溫

• 降β至0.7-0.9
• 移至防禦股、高現金流資產
• 停損規則：由價格改為參數劣化（β漂移+R²掉落）

風控板（參數劣化觸發）

觸發條件：

• β漂移 >±0.3 持續4週
• R² < 0.1 持續4週
• 執行動作： 降槓桿/降β/縮敞口

本節30秒重點：

• β值計算需要足夠樣本和品質檢驗，包含信賴區間評估
• CAPM計算器將理論轉化為實用工具，標準參數可直接使用
• 風險情境管理結合量化觸發條件，避免主觀判斷偏誤

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常見問題解答

CAPM的Rf用哪個期限最合理？

建議與投資期限匹配，常用10年期公債；短期研究可用1年期/3個月期。長期投資建議用10年期，短期交易可用較短期限。

回測β用什麼頻率最好？

日頻資料樣本較多，統計結果更穩定；月頻資料雜訊較低，但樣本較少。建議兩者對照+滾動視窗觀察，取得平衡。

CAPM跟DCF的關係是什麼？

CAPM提供DCF模型的折現率。傳統DCF估值中，折現率選擇常憑經驗，CAPM提供了基於風險的科學計算方法。

0050能否代表「台股市場組合」？

可以作為實務近似，但要注意對中小型股的代表性不足。若策略涉及小型股/價值股，建議用加權指數或更廣泛指數作為Rm。

β值的統計不確定性如何處理？

關注95%信賴區間，若區間跨越1，表示「與市場同步」存在統計不確定性。建議用滾動視窗觀察β值穩定性，避免過度依賴單點估計。

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結論與下一篇預告：因子投資的新世界

CAPM的核心價值總結

理論革命：

• 風險分類框架：系統性vs非系統性風險的清晰劃分
• 資產定價統一理論：所有資產報酬率的統一解釋框架
• 市場效率基礎：被動投資策略的理論支撐

實務應用：

• 精確折現率：改進股息折現等估值模型
• 量化風險管理：β值提供標準化風險測量
• 科學績效評估：α值成為超額報酬的客觀標準

從CAPM到多因子時代

第八篇預告：《因子投資與Smart Beta策略：現代投資組合理論的進化版》

核心學習主題：

1. Fama-French革命：從一因子到三因子

• 規模因子(SMB)：解釋小型股超額報酬
• 價值因子(HML)：解釋價值股投資效果
• 三因子模型如何改善CAPM解釋力

2. Smart Beta策略實戰

• 什麼是Smart Beta？與傳統指數的差異
• 台股因子投資的機會與挑戰
• 如何選擇適合的Smart Beta ETF

3. 多因子投資組合構建

• 因子暴露度計算與風險歸因
• 因子輪動的投資時機判斷

連接橋樑：
CAPM告訴我們市場β是重要因子，但不是唯一因子。下一篇將展示如何建構更精確、更實用的多因子投資框架。

學習行動指南

在進入第八篇之前，建議你：

1. 鞏固CAPM基礎：用Excel計算持股的β值和信賴區間
2. 觀察異常現象：關注小型股vs大型股的表現差異
3. 準備因子思維：思考「除了市場β，還有什麼因子影響股價？」
4. 工具準備：熟練掌握回歸分析，建立滾動β值監控機制

下載工具：
CAPM預期報酬率與組合β計算表（Excel）

準備好進入因子投資的新世界了嗎？

從CAPM的單一市場β，到多因子模型的規模、價值、品質因子，我們將學會如何捕捉更多元的風險溢酬來源，建構更精確的投資組合。

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系列文章導航

• 第一篇：投資組合的誕生：從直覺到科學的革命
• 第二篇：用數學量化時間價值：從複利與現值看穿投資的真實代價
• 第三篇：投資風險怎麼算？用標準差與變異數量化波動
• 第四篇：分散投資真的有效嗎？相關係數揭露投資組合的真實風險
• 第五篇：最佳投資組合怎麼找？效率前緣教你報酬與風險的黃金平衡
• 第六篇：我的投資組合怎麼配？找到效率前緣上的最適解
• 第七篇：CAPM模型完整解析：投資報酬率、風險與市場的數學關係（本篇）
• 第八篇：因子投資與Smart Beta策略：現代投資組合理論的進化版（即將發布）

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免責聲明： CAPM模型基於特定假設和歷史數據分析，不能保證未來投資表現。β值會隨市場環境變化，存在統計不確定性。本文所有數值均為示意計算，非投資建議。任何投資決定都應該基於你自己的研究、風險承受能力和財務狀況。投資有風險，決策須謹慎。建議定期檢視和更新CAPM參數，並結合其他分析工具進行投資決策。