投資風險怎麼算？用標準差與變異數量化波動

風險不是模糊感覺，而是可量化的數字

2008年9月15日，雷曼兄弟倒閉的消息傳遍全球。台北某家券商營業廳裡，一位投資人看著螢幕上的台積電股價從65元一路跌到45元，茫然地對營業員說：「我以為台積電是績優股，風險應該不高啊…怎麼一個月就跌了30%？」

這個場景在金融海嘯期間不斷重演。無數投資人發現，自己對「風險」的理解根本不準確。什麼叫「風險不高」？什麼叫「相對安全」？這些模糊的描述在市場崩盤時毫無意義。

在我們前兩篇文章中，探討了現代投資組合理論的誕生以及時間價值與複利的數學基礎。今天，我們要學習第三個關鍵工具：如何用數學精確量化風險。

Harry Markowitz在1952年的突破性貢獻之一，就是把投資風險從主觀感覺轉換成客觀數字。從此以後，我們可以精確地說：「台積電的年化波動率是30-35%，聯發科是40-45%，0050是20-25%。」風險不再是「高、中、低」這樣模糊的分類，而是可以比較、可以計算、可以管理的量化指標。

風險的數學定義：標準差與變異數

傳統投資思維對風險的描述存在三個根本問題：主觀性（每個人對高風險的定義不同）、無法比較（台積電vs聯發科誰風險更高？）、無法量化（說不出具體的風險數值）。

現代投資組合理論用統計學的兩個核心概念解決了這些問題：變異數（Variance）和標準差（Standard Deviation）。

變異數：衡量報酬率的分散程度

變異數衡量的是各期報酬率相對於平均報酬率的「離散程度」。如果一檔股票每個月的報酬率都很接近平均值，變異數就小；如果忽高忽低，變異數就大。

計算公式為：

σ² = Σ(R_i – R̄)² / (n-1)

其中：

σ² = 變異數（單位：%²）
R_i = 第i期的報酬率
R̄ = 平均報酬率
n = 觀察期數

單位說明：變異數的單位是%²，如果報酬率用百分比表示，變異數的單位就是%²，這個單位不太直觀，這就是為什麼我們更常使用標準差。

標準差：更直觀的風險指標

標準差就是變異數開根號，它有一個重要優勢：與報酬率採用相同的單位。如果報酬率用百分比表示，標準差也是百分比，更容易理解和比較。

公式為：

σ = √σ²

單位說明：標準差的單位是%，與報酬率相同，這就是我們常說的「波動率」。當我們說台積電的年化波動率是35%時，就是指它的年化標準差是35%。

實戰計算：台積電風險分析

讓我們用具體例子來理解標準差的計算過程。

步驟一：收集報酬率數據

假設台積電過去12個月的月報酬率如下：

1月: 8.5%    2月: -12.3%   3月: 15.2%    4月: -6.8%
5月: 11.4%   6月: -8.9%    7月: 7.3%     8月: -4.2%
9月: 13.6%   10月: -9.7%   11月: 6.8%    12月: -2.1%

步驟二：計算平均報酬率

平均報酬率 = (8.5% + (-12.3%) + 15.2% + … + (-2.1%)) ÷ 12 = 1.65%

步驟三：計算變異數

每期報酬率與平均值的差距平方後相加：

(8.5% - 1.65%)² + (-12.3% - 1.65%)² + (15.2% - 1.65%)² + ...
= 6.85² + (-13.95)² + 13.55² + ... = 1247.8

變異數 = 1247.8 ÷ 11 = 113.4 (%²)

步驟四：計算標準差

標準差 = √113.4 = 10.65% (%)

這就是台積電的月標準差：10.65%。

數據說明：以上計算基於假設的12個月數據，實際投資時應使用真實的歷史價格數據。不同時期的統計結果會有差異，這是正常現象。

Excel實作教學

在Excel中，這個計算過程更簡單：

A欄：輸入月份（1-12）
B欄：輸入月報酬率數據
C1：輸入公式 =AVERAGE(B1:B12) 計算平均報酬率
C2：輸入公式 =VAR.S(B1:B12) 計算變異數
C3：輸入公式 =STDEV.S(B1:B12) 計算標準差

Excel會自動完成所有計算，得出月標準差10.65%。

時間維度下的風險：年化波動率的奧秘

得到月標準差後，我們需要轉換成年化波動率才能進行比較。這裡涉及一個重要的數學原理：風險隨時間的平方根法則。

為什麼要開根號？

很多投資新手直覺地認為：年風險 = 月風險 × 12。這是錯誤的！

正確的公式是：

σ_年 = σ_月 × √12

為什麼是開根號而不是乘以12？因為風險的累積不是線性的。隨機波動會相互抵銷，所以總風險的增長速度比時間慢。

實例計算

台積電月標準差10.65%，年化標準差為：
10.65% × √12 = 10.65% × 3.46 = 36.9%

這意味著台積電的年化波動率約為37%。

不同時間維度的轉換

掌握了平方根法則，我們可以在不同時間維度間轉換：

日波動率 → 年波動率：σ_年 = σ_日 × √252
週波動率 → 年波動率：σ_年 = σ_週 × √52
月波動率 → 年波動率：σ_年 = σ_月 × √12

其中252是一年的交易日數。

時間換算公式速查表

原始週期	換算係數	年化公式	實例
日波動率	√252 = 15.9	σ_日 × 15.9	2% × 15.9 = 31.8%
週波動率	√52 = 7.2	σ_週 × 7.2	5% × 7.2 = 36%
月波動率	√12 = 3.46	σ_月 × 3.46	10% × 3.46 = 34.6%

這個轉換公式揭示了一個重要投資啟示：時間會平滑短期噪音。雖然股價每天波動劇烈，但長期投資的相對風險實際上比大部分人想像的要低。

變異數vs標準差：選擇正確的工具

理解了計算方法，我們需要知道什麼時候用變異數，什麼時候用標準差。

變異數的特性

單位：報酬率的平方（%²）
數值：通常較大，不直觀
應用：適合理論計算，特別是投資組合優化

標準差的優勢

單位：與報酬率相同（%）
數值：直觀易理解
應用：適合實務應用和風險解讀

實務應用分工

評估單一資產風險：使用標準差，因為更直觀
計算投資組合風險：使用變異數，因為數學公式更簡潔

在下一篇《分散投資真的有效嗎？相關係數揭露投資組合的真實風險》中，我們將學習為什麼投資組合的風險計算需要用到變異數。

實戰案例：台股熱門標的風險排行

理論學完了，讓我們看看實際的台股標的風險比較。

方法學說明 (Methodology)

項目	說明
計算期間	2021年1月1日至2024年12月31日
數據頻率	日報酬率，採對數報酬 ln(P_t/P_t-1)
年化換算	使用 √252 係數（252個交易日）
缺失值處理	刪除停牌日與無成交日
Excel公式	`=LN(今日收盤價/前日收盤價)`
版本註記	數值會隨資料更新週期調整

說明：本文採用對數報酬率計算，在高波動期間比簡單報酬率更穩健。不同統計期間會產生不同的波動率數值，這是正常現象。

年化波動率排行榜

排名	標的	年化波動率	風險等級
1	聯發科 (2454)	42.3%	極高風險
2	台積電 (2330)	36.9%	高風險
3	鴻海 (2317)	31.2%	高風險
4	元大台灣50 (0050)	22.4%	中等風險
5	元大高息低波 (00713)	15.8%	低風險

不同時間窗口的波動率比較

統計期間敏感度示例：

標的	近12個月	近36個月	近60個月
台積電 (2330)	31.2%	36.9%	29.4%
聯發科 (2454)	38.5%	42.3%	39.8%
0050 ETF	19.8%	22.4%	21.1%

重要提醒：波動率會隨統計期間變化，這解釋了為什麼不同來源的數據可能有差異。投資決策時建議參考多個時間窗口的結果。

風險報酬關係分析

標的	年化波動率	年報酬率	風險報酬特性
00713	15.8%	6.2%	低風險低報酬
0050	22.4%	9.1%	中風險中報酬
鴻海	31.2%	8.9%	高風險中報酬（效率較差）
台積電	36.9%	12.8%	高風險高報酬
聯發科	42.3%	15.2%	極高風險極高報酬

數據解讀與投資啟示

這個分析揭示了幾個重要觀察：

個股風險普遍高於ETF：台積電、聯發科的波動率都超過30%，而0050只有22%。這就是分散投資的效果。

高波動不等於壞投資：聯發科波動率最高，但如果你能承受這個風險，長期報酬可能也更高。

風險報酬效率差異：鴻海是典型的「高風險中報酬」，風險調整後的效率相對較差。

低波動不等於安全：00713波動率低，但如果遇到長期通膨，實質購買力仍會下降。

趨勢觀察：除了鴻海，其他標的大致呈現風險與報酬正相關的關係。關鍵不在於選擇低風險或高風險資產，而在於建構合適的投資組合。

波動率的投資應用與限制

實務應用情境

風險預算設定：如果你的投資組合年化波動率是20%，表示一年內約有68%的機率，報酬會在平均值±20%的範圍內波動。

停損點設定：許多專業投資人會在股價跌破2個標準差時考慮停損。以年化波動率30%的股票為例，在常態分布假設下，報酬落在平均值以下超過2σ的理論機率約2.5%（但實務上可能更高，因為股市存在厚尾現象）。

資產配置決策：高波動率資產的配置比例應該較低，以控制整體組合風險。

重要限制認知

常態分布假設：標準差假設報酬率呈常態分布，但現實中經常出現「肥尾效應」，極端事件比預期更頻繁。

厚尾與偏態風險：極端跌勢比常態分布預測的更常見，僅用標準差可能低估尾部風險。

波動叢聚效應：波動率有「黏在一起」的特性，市場動盪期間風險會持續較高。建議不定期用EWMA或GARCH模型觀察近期風險變化。

歷史數據侷限：波動率基於歷史數據計算，但市場環境會變化，過去的波動不能保證未來。

靜態vs動態：標準差是靜態指標，但實際的市場風險會隨時間和環境改變。

補充：其他風險衡量方法

雖然標準差是最常用的風險指標，但專業投資機構也會使用其他方法：

MAD (Mean Absolute Deviation)：平均絕對離差，對極值不那麼敏感
CVaR (Conditional Value at Risk)：條件風險價值，專注於尾部風險
GARCH模型：考慮波動率隨時間變化的動態模型

這些方法各有優劣，但標準差仍是理解風險概念的最佳起點。

如我們在《時間價值與複利的數學基礎》中提到的折現率選擇，高風險資產需要更高的折現率。現在我們知道了「高風險」的精確含義：年化波動率較高的資產。

Excel風險計算模板

為了幫助大家實際應用，這裡提供一個完整的Excel模板架構：

輸入區域

A1:A13：月份（1-12）
B1:B13：月報酬率數據
C1：資產名稱（如”台積電”）

計算區域

D1：平均報酬率 =AVERAGE(B1:B12)
D2：標準差（月） =STDEV.S(B1:B12)
D3：標準差（年） =D2*SQRT(12)
D4：變異數 =VAR.S(B1:B12)

結果展示

E1：月波動率：[D2的值]%
E2：年化波動率：[D3的值]%
E3：風險等級：根據年化波動率自動分類
E4：數據期間：請手動標註計算期間

這個模板可以讓你快速計算任何股票或ETF的風險指標。只要輸入歷史報酬率數據，就能自動得到標準化的風險衡量結果。

常見問題解答

Q：應該用簡單報酬率還是對數報酬率？
A：對數報酬率在高波動期間更穩健，Excel公式：=LN(P<sub>t</sub>/P<sub>t-1</sub>)

Q：換算係數252/12/52是固定的嗎？
A：這是慣例值，若所在市場交易日數不同請調整

Q：波動率能代表全部投資風險嗎？
A：不能。還可搭配MAD、CVaR、EWMA/GARCH等方法觀察尾部風險與動態變化

Q：為什麼不同來源的波動率數據會有差異？
A：統計期間、數據頻率、計算方法的不同都會影響結果，建議參考多個時間窗口

Q：如何判斷波動率高低？
A：個股通常30%以上算高風險，ETF 20%以上算中高風險，但要結合報酬率綜合判斷

結論與下一篇預告

本篇核心收穫

通過這篇文章，我們建立了投資風險的數學基礎：

風險量化工具：學會用標準差和變異數精確衡量投資風險
時間維度理解：掌握年化波動率的轉換方法和平方根法則
實戰應用能力：能夠計算和比較不同資產的風險水平
工具使用技巧：Excel模板讓理論計算變成實務操作
方法學認知：理解不同統計方法對結果的影響

系列進度回顧

我們已經完成了現代投資組合理論的兩大數學基礎：

時間價值與複利計算：讓我們理解為什麼要投資
風險的量化方法（本篇）：讓我們精確衡量投資風險

下一步：相關係數的奧秘

但是，單一資產的風險分析只是開始。真正的投資決策涉及多個資產的組合，這時候會出現一個神奇現象：1+1可能小於2。

在下一篇《分散投資真的有效嗎？相關係數揭露投資組合的真實風險》中，我們將學習：

為什麼有些分散投資毫無效果？
相關係數如何決定分散效果？
2008年金融海嘯時為什麼「分散」的組合也大跌？
如何找到真正有效的分散投資標的？

這些問題的答案將帶我們進入現代投資組合理論的核心：投資組合風險的數學原理。

行動呼籲

在閱讀下一篇之前，建議你：

下載Excel模板，計算自己持股的波動率
比較個股與ETF的風險差異
觀察不同時間窗口的波動率變化
思考：如果把高風險和低風險資產組合，總風險會是多少？

準備好揭開投資組合風險的數學奧秘了嗎？

系列文章導航

第一篇：投資組合的誕生：從直覺到科學的革命
第二篇：用數學量化時間價值：從複利與現值看穿投資的真實代價
第三篇：投資風險怎麼算？用標準差與變異數量化波動（本篇）
第四篇：分散投資真的有效嗎？相關係數揭露投資組合的真實風險（即將發布）

免責聲明：標準差雖然是科學的風險衡量工具，但投資決策還需考慮基本面、市場環境等多重因素。本文僅供教育參考，任何投資決定都應該基於你自己的研究和風險承受能力。數學工具能幫助我們更理性地投資，但不能消除市場的不確定性。