分散投資真的有效嗎？相關係數揭露投資組合的真實風險

分散投資的假象：為什麼1+1可能大於2？

2008年10月，雷曼兄弟倒閉一個月後，台北某投資人看著自己精心設計的「分散」投資組合：台積電跌32%、鴻海跌28%、聯發科跌35%。他困惑地問理專：「我明明買了三家不同公司，為什麼全部一起跌？」

2020年3月，疫情恐慌席捲全球，流動性緊縮期間，股債短暫出現同跌（dash for cash）現象，隨後債券避險功能才恢復。這提醒我們相關性會隨時間動態變化，連最穩定的資產關係都可能在極端時刻改變。

這兩個場景揭露了投資界最大的誤解：分散投資的效果不取決於「買多少檔」，而取決於「相關性多低」。今天我們要學習現代投資組合理論的第二個核心工具：相關係數，它將徹底改變你對風險分散的認知。

在前三篇文章中，我們探討了現代投資組合理論的誕生、時間價值與複利計算，以及風險的量化方法。我們學會了計算單一資產的風險，但投資組合的風險計算遠比想像複雜。

今天，我們要揭開投資組合風險的數學真相：為什麼1+1不等於2，甚至可能大於2？

相關係數到底在說什麼？

相關係數(ρ，讀作rho)是統計學中衡量兩個變數線性關係強度的指標。在投資學中，它衡量兩檔資產報酬率的「同步程度」。

數學定義

相關係數公式：

ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X × σ_Y)

其中：

Cov(X,Y) = X和Y的共變異數
σ_X, σ_Y = X和Y各自的標準差
ρ的取值範圍：-1 到 +1

三種關鍵情境

ρ = +1（完全正相關）
↗️↗️ 兩資產完全同步移動，A漲B必漲，A跌B必跌
分散效果：無效

ρ = 0（無相關）
↗️↘️ 兩資產獨立變動，A的表現不影響B
分散效果：有效

ρ = -1（完全負相關）
↗️↙️ 兩資產完全反向移動，A漲B必跌
分散效果：對沖

投資現實

在真實市場中：

完全負相關(-1)的資產極其罕見
大部分資產相關係數介於0到+1之間
同產業股票的相關係數通常在0.6-0.8
跨資產類別的相關係數較低，通常在-0.3到+0.5

現在就列出你持股的ρ地圖。

為什麼1+1≠2：投資組合風險不是加總

這是現代投資組合理論最重要的數學發現。Markowitz證明，投資組合的風險不是個別資產風險的簡單加權平均，而是一個更複雜的公式。

兩資產組合的風險公式

投資組合標準差：

σ_p = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂)

公式解析：

w₁, w₂ = 各資產的投資權重
σ₁, σ₂ = 各資產的標準差
ρ₁₂ = 兩資產的相關係數
關鍵項：2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂

第三項的威力

這個公式的神奇之處在於第三項：2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂

當ρ = +1時：
σ_p = w₁σ₁ + w₂σ₂（退化成加權平均，無分散效果）

當ρ = 0時：
σ_p = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂²)（有分散效果，組合風險 < 加權平均）

當ρ = -1時：
在特定權重下，組合風險可以降到接近零！

分散投資的數學真相

傳統直覺認為：組合風險 = 個別風險的平均
數學真相是：組合風險取決於相關係數

核心洞察：投資不是在找更多標的，而是在壓低第三項。

相關係數越低，分散效果越好；相關係數越高，分散效果越差。當相關係數接近+1時，「分散」投資實際上變成了「集中」風險。

先看第三項，再談幾檔。

實戰案例：台灣常見資產配對分析

讓我們用具體數據來驗證相關係數的威力。以下數值為示意區間，用於說明相關性對風險的影響；實務請以當期回溯資料計算。

三組典型配對

資產配對	相關係數(ρ)	分散效果評級	投資啟示
台積電 vs 聯發科	0.75	⭐⭐ 效果有限	同產業=假分散
台積電 vs 中華電信	0.45	⭐⭐⭐ 中等效果	跨產業有幫助
台積電 vs 美債ETF	0.15	⭐⭐⭐⭐⭐ 優秀效果	跨資產最佳

數據來源說明

方法學：基於近年日報酬率數據區間估算，實際數值會隨市場環境變化

計算口徑：以對數日報酬、樣本相關（Pearson）計算；缺失值以內插/刪除處理；視窗範例：近3年滾動60D/120D。

Excel計算示範：

💡 工具盒卡：三步驟速算相關係數

步驟1： 準備兩資產的日報酬率數據
步驟2： 使用Excel函數 =CORREL(範圍1,範圍2)
步驟3： 警戒線判斷 – ρ>0.7需要重新配置

滾動相關建議：
常用視窗：60交易日（月度視角）、120交易日（季度視角），兩者對比能看出結構性變化

關鍵發現

同產業股票高度相關：台積電和聯發科都是科技股，相關係數高達0.75，分散效果極其有限。

跨產業降低相關性：台積電(科技)與中華電信(電信)的相關係數降至0.45，分散效果明顯改善。

跨資產類別最有效：台積電(股票)與美債ETF(債券)的相關係數僅0.15，提供了真正的風險分散。

現在就檢查你的平均ρ。

震撼實例：50%台積電 + 50%聯發科的真實風險

讓我們用具體數字來展示相關係數的衝擊力。假設投資人將資金對半分配在台積電和聯發科：

基本假設（示例數值）

台積電年化波動率： 36.9%
聯發科年化波動率： 42.3%
兩者相關係數： 0.75

三種計算方法對比

方法一：直覺錯誤（簡單平均）

組合風險 = 50% × 36.9% + 50% × 42.3% = 39.6%

方法二：忽略相關性（假設獨立）

σ_p = √(0.5² × 36.9² + 0.5² × 42.3²) = 28.1%

方法三：實際計算（考慮相關性）

σ_p = √(0.5² × 36.9² + 0.5² × 42.3² + 2×0.5×0.5×36.9%×42.3%×0.75)

詳細計算：

第一項：0.25 × 1361.61 = 340.4
第二項：0.25 × 1789.29 = 447.3
第三項：2 × 0.25 × 36.9 × 42.3 × 0.75 = 586.8
總和：340.4 + 447.3 + 586.8 = 1374.5
開根號：√1374.5 ≈ 37.1%

震撼結論

在ρ=0.75的高相關情境下，組合風險從理想的28.1%（獨立假設）上升到37.1%，接近無分散效果的上限39.6%。高ρ×高σ使σ_p接近加權和，分散效益被大幅吞噬。

這個結果說明：當相關係數很高時，投資兩檔股票的分散效果微乎其微。ρ越接近+1，分散效益越趨近0。這就是為什麼「同產業分散 = 自欺欺人」的數學證據。

危機時為何分散失效：系統性風險讓相關性飆升

相關係數不是靜態的數字，它會隨著市場環境劇烈變化。在金融危機期間，原本不相關的資產會突然高度相關，讓分散投資瞬間失效。

系統性風險vs個別風險

個別風險（可分散）： 影響特定公司或產業的風險，如管理層醜聞、產品缺陷
系統性風險（不可分散）： 影響整個市場的風險，如經濟衰退、戰爭、疫情

在系統性風險主導的危機時期，所有資產的相關係數趨向+1，分散投資的保護作用大幅下降。這就是為什麼2008年「分散」的投資組合還是慘跌的根本原因。

黑天鵝效應

極端事件具有「相關性聚攏」的特性：

平時相關係數0.3的資產，危機時可能飆升至0.8
投資人恐慌性拋售所有風險資產
流動性緊縮讓相關性急劇上升

極端相關性聚攏是一種「結構性暫變」，策略回應是降風險暴露＋拉長風險衡量的時間窗口。

在黑天鵝來臨前先量化ρ的聚攏風險。

投資人可執行清單：有效分散投資策略

理解了相關係數的威力，我們可以制定真正有效的分散投資策略。

跨資產類別分散矩陣

資產類別	台股代表標的	與台股大盤相關性	分散效果評級	配置建議
台股大盤	0050	1.0 (基準)	無效果	30-50%
美股市場	VTI/00646	0.65	⭐⭐⭐ 良好	20-30%
政府債券	00687B	0.25	⭐⭐⭐⭐ 優秀	20-40%
黃金	00635U	0.10	⭐⭐⭐⭐⭐ 極佳	5-10%
REITs	00712	0.40	⭐⭐⭐ 中等	5-10%

分散投資優先級排序

第一優先：跨資產類別
股票 + 債券 + 黃金 > 多檔股票
相關性層級化配置：先決定資產大類，再挑標的

第二優先：跨地區市場
美股 + 歐股 + 亞股 > 多檔台股

第三優先：跨產業配置
科技 + 金融 + 傳產 > 多檔科技股

最低效益：同產業分散
多檔科技股的分散效果極其有限

動態監控框架

月度檢視清單：

計算主要持股間的滾動相關係數
檢查是否有資產配對ρ>0.7（重配信號）
觀察市場壓力期間相關係數變化
評估整體投資組合的分散程度

量化門檻：

ρ>0.7：降權或剔除其中之一
組合平均相關性（Average ρ）連續兩月上升：觸發再平衡預檢

Average ρ定義：對組合內所有資產配對的兩兩相關係數取算術平均（上限可加權於市值/配置比重）。

季度調整機制：

再平衡資產配置比例
剔除高相關資產，增加低相關資產
根據市場環境調整分散策略
壓力測試：模擬危機時期的組合表現

先決定大類，再挑標的與權重。

實用工具集：相關係數計算與監控

💡 工具盒卡：相關係數監控套件

Excel基礎函數：

=CORREL(陣列1,陣列2) – 計算基本相關係數

滾動相關：使用OFFSET函數計算動態相關係數

相關矩陣：多資產同時比較，快速識別高相關配對

進階應用：

條件格式：ρ>0.7自動標紅警示

最能說服人的兩張圖：相關矩陣熱圖、60D滾動ρ曲線

Python一行提示：
> df.corr() # pandas：快速計算資產相關矩陣 >

監控頻率建議：

平穩期：每月檢視

波動期：每週監控

危機期：每日追蹤

實戰Excel模板架構

A欄： 日期
B欄： 資產1日報酬率
C欄： 資產2日報酬率
D1： =CORREL(B:B,C:C) 整體相關係數
E1： 滾動60日相關係數（使用OFFSET函數）
F1： 警戒判斷 =IF(D1>0.7,"重配","OK")

建議圖表

相關矩陣熱圖（近3年，60D滾動）
圖說：「近3年，台股（0050）、美股（VTI）、債券（00687B）、黃金（00635U）之60D滾動相關矩陣。深色＝高相關；淺色＝低相關。」

滾動ρ曲線（0050 vs 00687B vs 00635U）
圖說：「股—債／股—金的60D/120D滾動ρ。危機區段可見ρ聚攏上行。」

三大限制警語：相關係數的邊界

⚠️ 相關係數只衡量線性關係
無法捕捉複雜的非線性依存關係，某些資產在極端情況下可能出現意外的相關性

⚠️ 相關性會隨時間動態變化
歷史相關係數不保證未來表現，市場結構改變會影響資產間關係

⚠️ 極端時期相關性急劇聚攏
危機時分散效果大幅下降，需要搭配其他風險管理工具

補強措施

定期更新：每季重新計算相關係數
情境分析：模擬不同市場環境下的相關性變化
多重指標：搭配波動率、最大回撤等其他風險指標
動態調整：根據相關性變化主動調整配置

結論與下一篇預告

本篇核心收穫

通過這篇文章，我們解開了分散投資的數學秘密：

相關係數是分散效果的決定因子：不是買更多檔股票，而是買相關性更低的資產

投資組合風險公式的威力：第三項2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂決定了分散效果，當ρ接近+1時分散失效

跨資產優於跨個股：股債金的組合效果遠勝於多檔個股組合

動態監控的必要性：相關性會隨市場環境劇變，需要主動管理

實戰應用能力

現在你可以：

計算任意兩檔資產的相關係數
應用投資組合風險公式預測組合風險
設計真正有效的跨資產分散策略
建立相關係數監控機制，及時發現風險聚集

策略總結

先壓低ρ，再配置權重；先定資產大類，再挑個別標的；ρ>0.7亮紅燈，Average ρ上行兩月啟動再平衡。

系列進度回顧

我們已經掌握了現代投資組合理論的核心工具：

時間價值計算：理解投資的必要性
風險量化方法：用標準差精確衡量風險
相關係數分析（本篇）：揭示分散投資的數學原理

下一篇：效率前緣的最佳化革命

有了風險量化和相關係數分析，我們終於可以解決投資的終極問題：如何找到最佳的風險報酬組合？

在下一篇《最佳投資組合怎麼找？效率前緣教你報酬與風險的黃金平衡》中，我們將學習：

什麼是效率前緣？為什麼它被稱為投資的「聖杯」？
如何在無數種資產配置中找到數學上「最有效率」的組合？
給定風險水準下的最高報酬，或給定報酬目標下的最低風險
Excel實作：建構你自己的效率前緣圖

效率前緣將把我們學過的所有概念統合起來：時間價值決定投資必要性，風險量化提供數學基礎，相關係數實現有效分散，而效率前緣將告訴我們最佳的配置比例。

行動呼籲

在閱讀下一篇之前，建議你：

相關係數檢視：用Excel計算你持股間的相關係數，找出高相關配對（ρ>0.7）
分散效果評估：檢視你的投資組合是否過度集中在相關性高的資產
跨資產配置：考慮增加債券、黃金等與股票低相關的資產類別
動態監控：建立月度相關係數追蹤機制，為組合優化做準備

準備好學習投資組合的數學最佳化了嗎？效率前緣將為我們開啟投資的新境界！

系列文章導航

第一篇：投資組合的誕生：從直覺到科學的革命
第二篇：用數學量化時間價值：從複利與現值看穿投資的真實代價
第三篇：投資風險怎麼算？用標準差與變異數量化波動
第四篇：分散投資真的有效嗎？相關係數揭露投資組合的真實風險（本篇）
第五篇：最佳投資組合怎麼找？效率前緣教你報酬與風險的黃金平衡（即將發布）

免責聲明：相關係數是重要的風險管理工具，但市場環境會持續變化，歷史相關性不能保證未來表現。本文僅供教育參考，任何投資決定都應該基於你自己的研究和風險承受能力。分散投資可以降低風險，但無法消除所有市場風險，特別是系統性風險。