愛因斯坦的「第八大奇蹟」
傳說中，愛因斯坦曾經說過：「複利是世界第八大奇蹟。理解它的人從中獲利，不理解的人為此付出代價。」雖然這句話的真實性有爭議，但複利的威力確實令人震撼。
想像一下這個故事：1626年，荷蘭殖民者用價值24美元的小飾品「買下」了曼哈頓島。聽起來像是歷史上最划算的房地產交易？但如果當時的印第安人把這24美元以年利率7%投資到今天，這筆錢會變成多少？
答案是：超過5兆美元。足以把整個曼哈頓重新買回來，還有找零。
這就是時間與複利結合的魔法。而在現代投資組合理論中，這個「魔法」不只是一個有趣的故事，它是所有投資計算的根基，是理解風險、報酬、和最佳化決策的數學起點。
巴菲特曾說：「時間是好投資的朋友，是差投資的敵人。」今天，我們要學會用數學語言精確描述這個「朋友」的威力。
時間價值的核心邏輯：為什麼今天的錢比明天值錢？
在第一篇文章中，我們提到Markowitz用數學改變了投資世界。而這個數學體系的根基，就是一個看似簡單的概念：今天的100元，永遠不等於明年的100元。
這不是哲學思辨，而是有三個具體的經濟學原因：
原因一：通膨的隱形稅收
如我們在《為什麼投資是對抗通膨的必要選擇？從資產貶值到行動對策全面解析》中詳細分析的，通膨會持續侵蝕貨幣的購買力。
假設年通膨率3%，今天能買一杯100元咖啡的錢，明年只能買到97元的購買力。這3%的差距，就是時間造成的價值流失。
更殘酷的現實是：央行的目標通膨率通常是2-3%，但實際的資產通膨（房價、股價、優質商品）往往更高。你的現金不投資，就是在主動接受貶值。
原因二：機會成本的數學化
今天的100元，你可以選擇：
- 放在銀行定存，一年後變成101元（假設利率1%）
- 投資台股，期待一年後變成108元（假設報酬率8%）
- 投資美股，期待一年後變成110元（假設報酬率10%）
這個「期待報酬率」就是機會成本。當你選擇持有現金，你實際上是在放棄這些投資機會。數學上，我們用「折現率」來量化這個機會成本。
原因三：不確定性的風險溢酬
明年能不能拿到錢？明年的經濟環境如何？投資標的會不會倒閉？
這些不確定性都需要額外的補償，也就是「風險溢酬」。越不確定的未來現金流，折現率就要越高，現值就越低。
這三個因素合起來，就形成了折現率（Discount Rate），它是時間價值計算的核心參數。
複利計算實戰：讓數字說話
理論說完了，讓我們來看看複利的實際威力。
基本公式：未來價值計算
FV = PV × (1 + r)^n
其中：
- FV = 未來價值（Future Value）
- PV = 現值（Present Value）
- r = 年利率
- n = 投資年數
實戰案例：定期定額0050的20年奇蹟
假設小明從25歲開始，每月定期定額投資1萬元到0050，預期年報酬率8%，投資20年到45歲。
Step 1：計算總投入
- 每月1萬 × 12個月 × 20年 = 240萬元
Step 2：計算未來價值 這裡需要用「年金終值」公式，比較複雜：
FV = PMT × [((1+r)^n - 1) / r]其中PMT是每期支付金額（每年12萬）
代入數字：
FV = 120,000 × [((1.08)^20 - 1) / 0.08]
FV = 120,000 × 45.76
FV = 549萬元結果震撼對比：
- 總投入：240萬元
- 最終價值：549萬元
- 複利增值：309萬元（128%增長！）
Excel實作教學
想要自己算算看嗎？打開Excel，跟著這樣做：
A1格：輸入 “年度” B1格：輸入 “年投入”
C1格：輸入 “累積價值”
A2格：輸入 1 B2格：輸入 120000 C2格：輸入 =B2
A3格：輸入 =A2+1 B3格：輸入 =B2 C3格：輸入 =(C2*1.08)+B3
然後把A3和C3的公式往下拉到第21行，你就能看到每年的累積價值變化。
複利的真正威力：時間放大效應
這549萬的成果展現了複利的核心概念：不只是本金在成長，連獲利也在產生獲利。每月投入的1萬元，不僅會隨著0050成長，產生的獲利也會重新投入繼續成長。
**很多投資人沒發現的關鍵差距：**如果你每年把8%的獲利提出來放定存，而不是讓它繼續投資，20年後的總資產會遠低於549萬元。這就是大部分散戶錯失的時間複利效應——他們太急著「落袋為安」，卻不知道耐心才是投資最大的武器。
現值折現：投資決策的核心工具
學會了計算未來價值，我們需要反向思考：如果我知道未來能拿到一筆錢，它在今天值多少？
這就是**現值（Present Value）**的概念，公式是未來價值的反向計算：
PV = FV ÷ (1 + r)^n
為什麼要把未來現金流折現？
想像你要評估兩個投資機會：
投資A：今天付100萬，3年後拿回150萬 投資B：今天付100萬，5年後拿回180萬
哪個比較划算？直覺可能說B，因為180萬 > 150萬。但用現值分析就不一定了。
假設折現率10%：
投資A的現值：
PV = 150萬 ÷ (1.10)^3 = 150萬 ÷ 1.331 = 112.7萬淨現值 = 112.7萬 – 100萬 = 12.7萬
投資B的現值：
PV = 180萬 ÷ (1.10)^5 = 180萬 ÷ 1.611 = 111.8萬淨現值 = 111.8萬 – 100萬 = 11.8萬
結果：投資A更划算！
**這裡藏著投資者最容易忽略的盲點：**絕對金額大不等於報酬率高。很多人看到「5年後拿180萬」就心動，卻忽略了時間成本的計算。這就是現值分析的威力——它能讓你看穿投資的真實價值，避免被表面數字欺騙。
實例：台積電股息折現估值初探
讓我們用現值概念來理解股票估值。假設台積電未來5年每年配息12元，第5年底股價預估1200元，折現率設為10%。
Step 1：計算股息現值
- 第1年股息現值：12 ÷ 1.10 = 10.91元
- 第2年股息現值：12 ÷ (1.10)^2 = 9.92元
- 第3年股息現值：12 ÷ (1.10)^3 = 9.02元
- 第4年股息現值：12 ÷ (1.10)^4 = 8.20元
- 第5年股息現值：12 ÷ (1.10)^5 = 7.45元
股息現值總和 = 45.5元
Step 2：計算期末股價現值 期末股價現值：1200 ÷ (1.10)^5 = 745元
Step 3：計算理論價值 台積電理論價值 = 45.5 + 745 = 790.5元
如果目前股價低於790元，從現值角度看就是低估；高於790元就是高估。
**這才是專業投資人評估股票的真正方法：**不是看股價漲了多少，而是計算未來現金流的現值。散戶習慣追漲殺跌，專業投資人卻在默默計算內在價值。掌握了現值分析，你就擁有了看穿市場情緒的透視鏡。
（當然，這只是簡化的示範，實際的折現現金流估值更複雜，我們會在系列後面詳細介紹）
折現率選擇的關鍵影響
你可能注意到，我們在上面的例子中都假設折現率是10%。但這個數字怎麼來的？不同的折現率會產生截然不同的結果。
風險越高，折現率越高：
- 銀行定存：折現率約1-2%（幾乎無風險）
- 政府公債：折現率約2-3%（信用風險極低）
- 大型績優股：折現率約8-10%（有市場風險）
- 成長型股票：折現率約12-15%（成長不確定性）
- 新創公司：折現率約20%以上（高度不確定）
進階補充：折現率的計算公式 在現代投資組合理論中，股票的折現率通常用資本資產定價模型(CAPM)計算： 折現率 = 無風險利率 + β × 市場風險溢酬
例如：台積電的β值約1.2，無風險利率2%，市場風險溢酬6% 則折現率 = 2% + 1.2 × 6% = 9.2% 我們將在第7篇詳細介紹CAPM模型的計算與應用。
同樣是未來拿到100萬，用不同折現率計算的現值差距巨大：
- 2%折現率（5年）：90.6萬
- 10%折現率（5年）：62.1萬
- 20%折現率（5年）：40.2萬
這就是為什麼風險評估如此關鍵——同一筆未來現金流，在不同風險假設下，現值可以相差一倍以上！很多投資新手只看報酬率，卻忽略了風險調整，結果高估了投資價值，這是現代投資組合理論要解決的核心問題。
投資組合理論的時間維度
學會了時間價值計算，我們可以開始理解為什麼現代投資組合理論需要這個數學基礎。
多期投資的複雜性
在第一篇中，我們討論了投資組合優化，但那是「靜態」的概念。現實中，投資是動態的過程：
- 你每個月都會有新資金投入
- 市場環境會不斷變化
- 風險偏好會隨年齡調整
- 投資目標有明確的時間期限
所有這些因素都需要用時間價值的概念來處理。
風險在時間中的演化
更重要的是，風險不是靜態的數字。一檔股票的年波動率可能是30%，但這不代表：
- 持有1個月的風險是2.5%（30%÷12）
- 持有10年的風險是300%（30%×10）
實際上，風險會隨時間演化，這涉及到複雜的統計學概念。短期內，股價可能劇烈波動；但長期來看，好公司的價值會逐漸體現，風險相對降低。
這就是為什麼巴菲特說「時間是好投資的朋友」——時間會稀釋短期波動的影響，讓基本面價值逐漸浮現。
預告：下一篇的風險量化
在下一篇文章《風險的數學定義：標準差與變異數的投資應用》中，我們將學會：
- 如何用標準差精確量化風險
- 為什麼年化波動率要開根號
- 風險如何隨時間變化
- 多資產組合的風險計算
有了時間價值的基礎，我們就能開始建構現代投資組合理論的核心：風險報酬的數學化分析。
實用工具與行動指南
Excel模板預告
在下一篇文章中，我們會提供一個Excel模板，讓你能夠：
- 計算任意投資期間的複利效果
- 比較不同投資方案的現值
- 進行簡單的股息折現估值
本篇重點總結
今天我們建立了現代投資組合理論最重要的數學基礎：
- 時間價值概念：通膨、機會成本、不確定性造成貨幣時間價值
- 複利計算：FV = PV × (1+r)^n，時間的指數級放大效應
- 現值折現：PV = FV ÷ (1+r)^n，未來現金流的今日價值
- 折現率選擇：反映風險水準，影響估值結果
這些工具看似基礎，但它們是後續所有進階概念的根基。沒有時間價值，就無法理解為什麼要投資；沒有現值概念，就無法比較不同的投資機會；沒有折現率，就無法量化風險對價值的影響。
下一篇，我們將在這個基礎上，學習現代投資組合理論的核心工具：風險的數學定義。
準備好用統計學的眼光重新理解「風險」了嗎？
系列連結：
- 上一篇：投資組合的誕生：從直覺到科學的革命｜現代投資組合理論入門（一）
- 下一篇：風險的數學定義：標準差與變異數的投資應用｜現代投資組合理論入門（三）（即將發布）
最後提醒：複利雖然強大，但前提是穩定的正報酬。投資永遠有風險，本文僅供教育參考，任何投資決定都應該基於你自己的研究和風險承受能力。時間是好投資的朋友，但也可能是壞投資的敵人。